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為什麼我們都說諧波不做功,但諧波真的不做實功P嗎?

常有一些疑問,我們知道兩個相量夾角為90度時,稱之為相量正交,那訊號的正交特性是指什麼?
(1).向量正交
相乘之內積為零,
物理意義上就是內積, a.b是一種投影的概念,若向量b是單位向量(unit vector),則a.b表示向量a投影在向量b身上的量,所以當夾角90度,投影量為零~
(2).訊號的正交特性
弦波函數有一個重要特點被稱為弦波函數的"正交性"。弦波函數的正交性是指不同頻率的正弦(或餘弦)波相乘，在一定的時間內（兩個信號疊加之後的公共週期），其平均值等於零。
前面的這個引言是要來說明當一系統訊號失真後,為何諧波不做功P?
傅立葉序列(Fourier series)，證明週期性信號可視為一群弦波(coswt，cos2wt，…)的組合；頻率由原信號的週期決定，不同頻率對應的振幅及相位，由信號的波形決定,
所以當一電壓訊號為弦波形式,因系統關係讓電流變成失真,此電流可以用傅立葉轉換成為與電壓同頻之基波成份(相移)+各次諧波城分之總和(相移),
如果相乘的兩個信號一個是電壓(基波)，一個是電流(各次諧波)，那麼依據弦波函數的正交特性,平均值就是指有效功率P，其有效功率等於零，就是不做功P了。
所以電流信號含有的諧波的頻率，與電壓（基波）信號的頻率是不同的（一般是整倍數關係），因此，諧波不做功P。
證明如下：(cos 也是同樣意思,這邊用sin來證明)
p（t）=sin（ω1t+θ1）*sin（ω2t+θ2）
採用三角函數的積化和差公式
p（t）=-[cos（ω1t+θ1+ω2t+θ2）-cos（ω1t+θ1-ω2t-θ2）]/2
=1/2 cos（（ω1-ω2）t+（θ1-θ2））-1/2 cos（（ω1+ω2）t+（θ1+θ2））
由於上式中左右兩項均為餘弦函數，餘弦函數在一個週期內的積分必然等於零(平均功率是積分函數)。